И судьба сосны ясна…». Пример. к, о, н стоят рядом

Вариант 1

№1. Сколькими способами можно разместить пять различных книг на полке?

№2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 1, 3, 6, 7, 9?

№3. На встрече выпускников 9 бывших одноклассников обменялись визитками. Сколько было использовано визиток?

№4. Сколько существует перестановок букв слова «фигура», в которых буквы «у», «р», «а» стоят рядом в указанном порядке?

Вариант 2

№1. Сколькими способами можно разместить шесть различных книг на полке?

№2. Сколько трехзначных чисел с разными цифрами можно составить из цифр 0, 3, 4, 5, 8?

№3. На конференции 7 ее участников обменялись номерами телефонов. Сколько было произведено обменов телефонными номерами?

№4. Сколько существует перестановок букв слова «вершина», в которых буквы «в», «е», «р» стоят рядом в указанном порядке?

Самостоятельная работа. Комбинаторика.

Вариант 3

№1. Сколькими способами 9 участников конкурса могут выступать в порядке очередности в четверти финала конкурса?

№2. Используя цифры 0, 3, 7, 8, составьте все возможные двузначные числа, в которых цифры не повторяются.

№3. В районе N каждые два поселка соединены дорогой. Определите число таких дорог, если в районе 10 поселков.

№4. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, начинающихся с цифры 3 , в которых все цифры различные?

Вариант 4

№1. Курьер должен развезти пиццу по шести адресам. Сколько маршрутов он может выбрать?

№2. Используя цифры 0, 2, 4, 6, 8 составьте все возможные трехзначные числа, в которых цифры не повторяются?

№3. На плоскости отмечены 9 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки?

№4. Сколько существует шестизначных телефонных номеров, начинающихся на 36, в которых все цифры разные?

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Рождение комбинаторики как раздела связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

В дальнейшем важную роль будет играть следующая

Лемма. Пусть в множестве элементов, а в множестве — элементов. Тогда число всех различных пар , где будет равно .

Доказательство. Действительно, с одним элементом из множества мы можем составить таких различных пар, а всего в множестве элементов.

Размещения, перестановки, сочетания

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по > элементов и отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обозначается через (от начальной буквы французского слова “arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов равно

Доказательство. Пусть у нас есть элементы . Пусть — возможные размещения. Будем строить эти размещения последовательно. Сначала определим — первый элемент размещения. Из данной совокупности элементов его можно выбрать различными способами. После выбора первого элемента для второго элемента остается способов выбора и т.д. Так как каждый такой выбор дает новое размещение, то все эти выборы можно свободно комбинировать между собой. Поэтому имеем:

Пример. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?

Решение. Искомое число трехполосных флагов:

Определение. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке.

Так, все различные перестановки множества из трех элементов — это

Число всех перестановок из элементов обозначается (от начальной буквы французского слова “permutation”, что значит “перестановка”, “перемещение”). Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Пример. Сколькими способами можно расставить ладей на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение. Искомое число расстановки ладей

По определению!

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается порядок элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два — .

Свойства чисел {\sf C}_n^k

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного -элементного множества соответствует одно и только одно -элементное подмножество того же множества.

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов следующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных подмножеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Треугольник Паскаля

В этом треугольнике крайние числа в каждой строке равны 1, а каждое не крайнее число равно сумме двух чисел предыдущей строки, стоящих над ним. Таким образом, этот треугольник позволяет вычислять числа .

Теорема.

Доказательство. Рассмотрим множество из элементов и решим двумя способами следующую задачу: сколько можно составить последовательностей из элементов данного
множества, в каждой из которых никакой элемент не встречается дважды?

1 способ. Выбираем первый член последовательности, затем второй, третий и т.д. член

2 способ. Выберем сначала элементов из данного множества, а затем расположим их в некотором порядке

Домножим числитель и знаменатель этой дроби на :

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 номеров из 36?

Искомое число способов

Задачи.

1. Номера машин состоят из 3 букв русского алфавита (33 буквы) и 4 цифр. Сколько существует различных номеров автомашин?
2. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков?
3. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5?
4. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана?
5. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5?
6. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
7. Сколько есть пятизначных чисел, делящихся на 5, в записи которых нет одинаковых цифр?
8. На клетчатой бумаге со стороной клетки 1 см нарисована окружность радиуса 100 см, не проходящая через вершины клеток и не касающаяся сторон клеток. Сколько клеток может пересекать эта окружность?
9. Сколькими способами можно расставить в ряд числа так, чтобы числа стояли рядом и притом шли в порядке возрастания?
10. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр , если каждую цифру можно использовать только один раз?
11. Из слова РОТ перестановкой букв можно получить еще такие слова: ТОР, ОРТ, ОТР, ТРО, РТО. Их называют анаграммами. Сколько анаграмм можно составить из слова ЛОГАРИФМ?
12. Назовем разбиением натурального числа представление его в виде суммы натуральных чисел. Вот, например, все разбиения числа :

Разбиения считаются разными, если они отличаются либо числами, либо порядком слагаемых.

Сколько существует различных разбиений числа на слагаемых?
13. Сколько существует трехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
14. Сколько существует четырехзначных чисел с невозрастающим порядком цифр?
15. Сколькими способами можно рассадить в ряд 17 человек, чтобы и оказались рядом?
16. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
17. девочек и мальчиков рассаживаются произвольным образом в ряду из мест. Сколькими способами можно их рассадить так, чтобы все девочки сидели рядом?

Пример. к, о, н стоят рядом?

• Пример. Сколько существует перестановок букв слова «конус», в которых буквы к, о, н стоят рядом?

• Решение.

• Дано 5 букв, из которых три буквы должны стоять рядом.

• Три буквы к, о, н могут стоять рядом одним из = 3! = 6 способов.

• Для каждого способа «склеивания» букв к, о, н получаем = 3! = 6 способов

• Перестановки букв, «склейка» у, с.

• Общее число различных перестановок букв слова «конус», в которых буквы

• к, о, н стоят рядом, равно 6 · 6 = 36 перестановок – анаграмм.

• Ответ: 36 анаграмм.

Пример.

• Пример. Подсчитать, сколько среди изображений букв А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, К найдется букв, имеющих: 1)вертикальную ось симметрии; 2) горизонтальную ось симметрии.

• Решение.

• 1) Буквы с вертикальной осью симметрии: А, Д, Ж – 3 буквы (не учитываем утолщение некоторых элементов букв А, Д справа).

• 2) Буквы с горизонтальной осью симметрии: В, Е, Ж, З, К – 5 букв.

• Ответ : 1) 3буквы, 2) 5 букв.

Пример.

• Пример. У жителей планеты ХО в алфавите три буквы: А, О, Х. Слова в языке состоят не более чем из трех букв (буква в слове может повторяться). Какое наибольшее количество слов может быть в словаре жителей этой планеты?

• Решение. Слова могут быть однобуквенные, двухбуквенные и трехбуквенные.

• Однобуквенные слова: А,О, Х – 3 слова.

• Двухбуквенные слова: АО, АХ, АА, ОО, ОА, ОХ, ХХ, ХА, ХО – 9 слов (3·3=9, выбор двух букв с повторениями).

• Трехбуквенные слова: 3·9=27 слов (выбор трех из трех с повторениями, выбор первой буквы – три способа; к каждой первой букве дописываем каждое из 9 возможных двухбуквенных слов).

• Таким образом, в словаре жителей планеты ХО может быть максимум 3 + 9 + +27 = 39 слов.

• Ответ : 39 слов.

Пример № 1.

• Пример № 1. Все билеты для экзамена по литературе написаны на карточках двузначными числами. Петя случайным образом выбрал одну карточку. Охарактеризуйте как достоверные, невозможные или случайные следующие события:

• Событие А - на выбранной карточке оказалось простое число;

• Событие В – на карточке оказалось составное число;

• Событие С – на карточке оказалось число, не являющееся ни простым, ни составным;

• Событие Д – на карточке оказалось четное или нечетное число.

• Решение.

• События А и В случайные, так как они могут произойти, а могут и не произойти.

• Событие С невозможно: вспомните определение простого и составного числа.

• Событие Д достоверное, так как любое двузначное число или четно, или нечетно.

• Вы открыли книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «о»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак.

• Решение.

• а) Событие достоверное, так как в русском языке нет существительных, состоящих только из согласных букв.

• б)Событие случайное.

• в) Событие невозможное (см. пункт а)).

• г) Событие случайное.

Пример.

• Пример. Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

• «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие В)…»

• Решение.

• Царица родила сына или дочь (А В).

• Ответ: 4 сложных события, являющиеся суммой двух несовместных событий.

Пример. о, т, к, р.

• Пример. На четырех карточках написаны буквы о, т, к, р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно одну за другой эти карточки и положили их в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «крот»?

• Решение. Исходы - все возможные перестановки из четырех элементов (о, т, к, р ); общее число исходов равно n = = 4! = 24.

• Событие А – «после открытия карточек получится слово «крот»» ; = 1 (только один вариант расположения букв – «крот»; = .

• Ответ :

Пример о , на второй т, на третьей с, на четвертой п.

• Пример . Взяли четыре карточки. На первой написали букву о , на второй т, на третьей с, на четвертой п. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад одну карточку за другой и положили рядом. Какова вероятность того, что в результате получилось слово «стоп» или слово «пост»?

• Решение. Исходы – все возможные перестановки из 4 букв; общее число исходов

• n = = 4! = 24.

• Событие А – «получилось слово «стоп» или «пост»; количество благоприятствующих исходов = 1(«стоп») + 1 («пост») = 2 (по правилу суммы взаимоисключающих исходов).

• Вероятность = .

• Ответ: 1/12.

• Пример №1. Измерили длины слов (количество букв) в приведенном ниже отрывке из поэмы А.С.Пушкина «Медный всадник». Нужно построить гистограммы распределения кратностей и частот, выбрав интервалы 1-3, 4-6, 7-9 для вариант выборки.

• «…Ужасен он в окрестной мгле! 6, 2, 1, 9, 4

• Какая дума на челе! 5, 4, 2, 4

• Какая сила в нем сокрыта, А в сем коне какой огонь! 5, 4, 1, 3, 7

• Куда ты скачешь, гордый конь, 1, 1, 3, 4, 5, 5

• И где опустишь ты копыта?...» 1, 3, 8, 2, 6

• Справа от текста вместо слов построчно записан их длины. После подсчета составляем таблицу.

Пример.

• Пример. При проверке 70 работ по русскому языку отмечали число орфографических ошибок, допущенных учащимися. Полученный ряд данных представили в виде таблицы частот:

• Каково наибольшее различие в числе допущенных ошибок? Какое число ошибок является типичным для данной группы учащихся? Укажите, какие статистические характеристики были использованы при ответе на поставленные вопросы.

• Решение.

• Наибольшее различие в числе ошибок: 6 – 0 = 6.

• Типичное число ошибок: 3(встречается 26 раз из 70).

• Использованы размах и мода.

• Ответ: 6; 3.

Статистические исследования частотными таблицами языка.

• Статистические исследования над большим количеством литературных текстов показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым определенным константам. Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка.

• У каждого автора есть своя частотная таблица использования букв, слов, специфических литературных оборотов и т.д. По этой частотной таблице можно определить автора примерно так же точно, как и по отпечаткам пальцев.

Например , до сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Довольно многие считают, что в 23 года М.А.Шолохов такую глубокую и поистине великую книгу написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы и разные кандидаты в авторы. Особенно жаркими были споры в момент присуждения М.А.Шолохову Нобелевской премии в области литературы (1965г.). Статистический анализ романа и сличение его с текстами, в авторстве М.А.Шолохова которых не было сомнений, подтвердил все же гипотезу о М.А.Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».

Пример № 1.

• Пример № 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие

• «…Это дерево – сосна,

• И судьба сосны ясна…»

• Выпишите ряд данных выборки.

• Найдите объем выборки.

• Определите кратность и частоту варианты «о».

• Какова наибольшая процентная частота вариант выборки?

• Решение

• 1). Ряд данных выборки (значения вариант):

• а, б, в, д, е, и, н, о, р, с, т, у, ь, ы, э, я.

• 2). Объем выборки – это общее число букв в двустишии: n = 30.

• 3). Кратность варианты «о» равна 4, частота варианты равна.

• 4). Наибольшую процентную частоту имеет варианта «с»: ее кратность 6, частота

• , процентная частота 20%.

• Ответ: 1). 16 букв; 2). 30; 3). 4 и 0,133; 4). 20%.

Пример №1(продолжение). Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие

• Пример №1(продолжение). Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие

• «…Это дерево – сосна,

• И судьба сосны ясна…»

• Алфавит разбит по порядку на три одинаковых участка: №1 от «а» до «й», №2 от «к» до «у», №3 от «ф» до «я».

• 1).Найдите кратность и (процентную) частоту участка №3.

• 2).Составьте таблицу распределения частот участков.

• 3).Укажите участок наибольшей частоты.

• 4).Постройте гистограмму частот с выбранным распределением на участки.

• Решение. Прежде всего отметим, что если в русском алфавите 33 буквы, то три одинаковых участка – это участки по 11 букв. Число букв в двустишии: n = 30.

• Таблица распределения частот и кратностей:

Пример.

Пример. 60 девятиклассников проверили на скорость чтения (количество слов за минуту чтения). Полученные данные сгруппировали по пяти участкам: № 1- (91;100); № 2 (101;110); № 3 (111;120); №4 (121;130); №5 (131;140). Получилась такая гистограмма кратностей (смотри рисунок). Приблизительно оцените: размах, моду, среднее арифметическое выборки, объясните, почему ответы лишь приблизительные.

Размах А = 140-91= 49

• Размах А = 140-91= 49

• Мода.

• Среднее значение.

• Полученные значения являются лишь приблизительными потому, что вместо действительных значений вариант при вычислениях использовались условные величины – границы и середины частичных интервалов, то есть величины, не наблюдавшиеся на опыте, а принятые нами для удобства представления данных.

• Ответ: 49; 125,5; 117,17.

• А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. Параграфы к курсу алгебры 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2006.-112 с.

• Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и комбинаторики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; под ред. С. А.Теляковсого.- 2-е изд. – М.: Просвещение, 2004.-78 с.

• М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. Элементы статистики и вероятность: Учебное пособие для 7-9 классов общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2004.-112с.