Как разделить окружность на 10 равных частей с помощью циркуля. Деление окружности на любое количество равных частей

Можно разделить двумя способами. Для одного из них вам понадобится циркуль и линейка, а для второго - линейка и транспортир. Какой вариант предпочтительнее - решать вам.

Вам понадобится

• - циркуль
• - линейка
• - транспортир

Инструкция

Пусть дан круг радиуса R. Надо поделить его на три равные части с помощью циркуля. Раскройте циркуль на величину радиуса круга. Можно воспользоваться при этом линейкой, а можно поставить иглу циркуля в центр круга, а ножку отвести до окружности, описывающей круг. Линейка в любом случае еще пригодится позже.Установите иглу циркуля в произвольном месте на окружности, описывающей круг, и грифелем нарисуйте небольшую дугу, пересекающую внешний контур круга. Затем установите иглу циркуля в найденную точку пересечения и еще раз проведите дугу тем же радиусом (равным радиусу круга). Повторяйте эти действия, пока следующая точка пересечения не совпадет с самой первой. Вы получите шесть точек на окружности, расположенных через равные промежутки. Остается выбрать три точки через одну и линейкой соединить их с центром круга, и вы получите поделенный натрое круг.

Чтобы поделить круг на три части с помощью транспортира, достаточно вспомнить, что полный оборот вокруг своей оси составляет 360°-. Тогда угол, соответствующий одной трети круга, составляет 360°-/3 = 120°-. Теперь отложите три раза угол в 120°- на внешней стороне круга и соедините полученные точки на окружности с центром.

Обратите внимание

Если вы соедините точки не с центром, а между собой, то получите равносторонний треугольник.

Способ, описанный в первом шаге, также позволяет получить деление круга на шесть равных частей.

При выполнении графических работ приходится решать многие задачи на построение. Наиболее встречающиеся при этом задачи — деление отрезков прямой, углов и окружностей на равные части, построение различных сопряжений.

Деление окружности на равные части с помощью циркуля

Пользуясь радиусом, нетрудно разделить окружность и на 3, 5, 6, 7, 8, 12 равных участков.

Деление окружности на четыре равные части.

Штрихпунктирные центровые линии, проведенные перпендикулярно одна другой, делят окружность на четыре равные части. Последовательно соединив их концы, получим правильный четырехугольник (рис. 1).

Рис.1 Деление окружности на 4 равные части.

Деление окружности на восемь равных частей.

Чтобы разделить окружность на восемь равных частей, дуги, равные четвертой части окружности, делят пополам. Для этого из двух точек, ограничивающих четверть дуги, как из центров радиусов окружности выполняют засечки за ее пределами. Полученные точки соединяют с центром окружностей и на пересечении их с линией окружности получают точки, делящие четвертные участки пополам, т. е. получают восемь равных участков окружности (рис. 2).

Рис.2. Деление окружности на 8 равных частей.

Деление окружности на шестнадцать равных частей.

Разделив циркулем дугу, равную 1/8, на две равные части, нанесём засечки на окружность. Соединив все засечки, отрезками прямых, получим правильный шестнадцатиугольник.

Рис.3. Деление окружности на 16 равных частей.

Деление окружности на три равные части.

Чтобы разделить окружность радиуса R на 3 равные части, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А) описывают как из центра дополнительную дугу радиусом R. Получают точки 2 и 3. Точки 1, 2, 3 делят окружность на три равные части.

Рис. 4. Деление окружности на 3 равные части.

Деление окружности на шесть равных частей. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу окружности (рис. 5.).

Для деления окружности на шесть равных частей надо из точек 1 и 4 пересечения центровой линии с окружностью сделать на окружности по две засечки радиусом R , равным радиусу окружности. Соединив полученные точки отрезками прямых, получим правильный шестиугольник.

Рис. 5. Деление окружности на 6 равных частей

Деление окружности на двенадцать равных частей.

Чтобы разделить окружность на двенадцать равных частей, надо окружность поделить на четыре части взаимно перпендикулярными диаметрами. Приняв точки пересечения диаметров с окружностью А , В , С , D за центры, величиной радиуса проводят четыре дуги до пересечения с окружностью. Полученные точки 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 и точки А , В , С , D разделяют окружность на двенадцать равных частей (рис. 6).

Рис. 6. Деление окружности на 12 равных частей

Деление окружности на пять равных частей

Из точки А проведем дугу тем же радиусом, что и радиус окружности до пересечения с окружностью - получим точку В . Опустив перпендикуляр с этой точки - получим точку С .Из точки С - середины радиуса окружности, как из центра, дугой радиуса СD сделаем засечку на диаметре, получим точку Е . Отрезок DЕ равен длине стороны вписанного правильного пятиугольника. Сделав радиусом DЕ засечки на окружности, получим точки деления окружности на пять равных частей.

Рис. 7. Деление окружности на 5 равных частей

Деление окружности на десять равных частей

Разделив окружность на пять равных частей, легко можно разделить окружность и на 10 равных частей. Проведя прямые от получившихся точек через центр окружности до противоположных сторон окружности - получим ещё 5 точек.

Рис. 8. Деление окружности на 10 равных частей

Деление окружности на семь равных частей

Чтобы разделить окружность радиуса R на 7 равных частей, из точки пересечения центровой линии с окружностью (например, из точки А ) описывают как из центра дополнительную дугу этим же радиусом R - получают точку В . Опустив перпендикуляр с точки В - получим точку С .Отрезок ВС равен длине стороны вписанного правильного семиугольника.

Рис. 9. Деление окружности на 7 равных частей

Деление окружности на четыре равные части и построение правильного вписанного четырехугольника (рис.6).

Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части. Соединив точки пересечения этих линий с окружностью прямыми, получают правильный вписанный четырехугольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение правильного вписанного восьмиугольника (рис.7).

Деление окружности на восемь равных частей производится с помощью циркуля следующим образом.

Из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом R проводят дуги до взаимного пересечения, тем же радиусом из точки 5 делают засечку на дуге проведенной из точки 3.

Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то получится правильный вписанный восьмиугольник.

Деление окружности на три равные части и построение правильного вписанного треугольника (рис.8).

Вариант 1.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, например точки А пересечения центровых линий с окружностью, проводят дугу радиусом R, равным радиусу окружности, получают точки 2 и 3. Третья точка деления (точка 1) будет находится на противоположном конце диаметра, проходящего через точку А. последовательно соединив точки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник.

Вариант 2.

При построении правильного вписанного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого, через заданную точку проводят диаметр (рис.8). Точка А будет находится на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

Деление окружности на шесть равных частей и построение правильного вписанного шестиугольника (рис.9).

При делении окружности на шесть равных частей с помощью циркуля из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5. Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

Деление окружности на двенадцать равных частей и построение правильного вписанного двенадцатиугольника (рис.10).

При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис.10). Соединив последовательно полученные точки пересечения получают правильный вписанный двенадцатиугольник.

Деление окружности на пять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника (рис.11).

При делении окружности циркулем половину любого диаметра (радиуса) делят пополам, получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра в точке В. Отрезок 1В равен хорде стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности радиусом R1, равным отрезку 1В, делят окружность на пять равных частей. Начальную точку А выбирают в зависимости от расположения пятиугольника.

Из точки 1 строят точки 2 и 5, затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно.

Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит накопление погрешностей измерения и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают правильный вписанный пятиугольник.

Деление окружности на десять равных частей и построение правильного вписанного десятиугольника (рис.12).

Деление окружности на десять равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 11), но сначала делят окружность на пять равных частей, начиная построения из точки 1, а затем из точки 6, находящейся на противоположном конце диаметра. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный десятиугольник.

Деление окружности на семь равных частей и построение правильного вписанного семиугольника (рис.13).

Из любой точки окружности, например точки А, радиусом заданной окружности проводят дугу до пересечения с окружностью в точках B и D прямой.

Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равен хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последовательности, показанной при построении правильного пятиугольника. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный семиугольник.

Деление окружности на четырнадцать равных частей и построение правильного вписанного четырнадцатиугольника (рис.14).

Деление окружности на четырнадцать равных частей выполняют аналогично делению окружности на семь равных частей (рис.13), но сначала делят окружность на семь равных частей, начиная построения из точки 1, а затем из точки 8, находящейся на противоположном конце диаметра. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный четырнадцатиугольник.

Инструкция

Разбить окружность на четыре равные части очень просто, это тривиальная задача. Для этого нужно просто провести две перпендикулярные друг другу осевые линии. Точки на пересечении этих линий с окружность ю и ее на четыре части. Чаще возникает разделить окружность не на четыре, а на восемь равных частей. Для того, чтобы это сделать, нужно будет разделить дугу, которая составляет одну четверть окружности, на две равные части. Затем возьмите циркуль и разведите его на расстояние, которое на изображении обозначено цветом. Теперь осталось просто отложить это расстояние от каждой из полученных ранее четырех точек.

Для того чтобы разбить окружность на три равные части, разведите ножки на радиус окружности. После этого в любую точку пересечения осевых линий и окружности установите иглу циркуля. Проведите тонкой линией вспомогательную окружность . Три равные части точками пересечения и вспомогательной окружностей, а так же точкой, которая лежит на линии, вернее на ее противоположном конце.

А если нужно разделить окружность на шесть равных частей, то нужно проделать практически все то же самое. Отличие лишь в том, что эти необходимо повторить и для другой осевой линии. В этом случае получится сразу шесть точек на окружности, как показано на рисунке.

Очень часто возникает необходимость разделить окружность на пять равных частей. Это сделать тоже не сложно. Сначала нужно разделить на осевой линии радиус на две равные части. Именно в эту точку и нужно иглу циркуля. Грифель же необходимо отвести до точки пересечения окружности и перпендикулярной этому осевой линии. Наглядно это можно увидеть рисунке. На нем это расстояние изображено красным. Это расстояние откладывайте на окружности. Начинать нужно с осевой линии, а затем иглу переносить в новую получившуюся точку пересечения. Чтобы разбить окружность на десять частей повторите все вышеописанные действия зеркально.

Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90 º и/или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диаметра радиусом, равным радиусу данной окружности, проводят дуги до пересечения с окружностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 2.24). Последовательно соединив полученные точки, получают правильный вписанный шестиугольник.

Рисунок 2.24

При делении окружности циркулем из четырех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, равным радиусу данной окружности, дуги до пересечения с окружностью (рис. 2.25). Соединив полученные точки, получают двенадцатиугольник.

Рисунок 2.25

2.2.5 Деление окружности на пять и десять равных частей
и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника

Деление окружности на пять и десять равных частей и построение правильного вписанного пятиугольника и десятиугольника показано на рис. 2.26.

Рисунок 2.26

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 2.26 а), получают точку А.Из точки А,как из центра, проводят дугу радиусом, равным расстоянию от точки Адо точки 1 до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В(рис. 2.26 б). Отрезок 1Вравен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1/5 длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 2.26, в) радиусом К ,равным отрезку 1В,делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки 1 строят точки 2 и 5 (рис. 2.26, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем. Если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пятиугольник (рис. 2.26, г).

Деление окружности на десять равных частей выполняют аналогично делению окружности на пять равных частей (рис. 2.26), но сначала делят окружность на пять частей, начиная построение из точки 1, а затем из точки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 2.27, а). Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный десятиугольник(рис. 2.27, б).

Рисунок 2.27

2.2.6 Деление окружности на семь и четырнадцать равных
частей и построение правильного вписанного семиугольника и
четырнадцатиугольника

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 2.28 и 2.29.

Из любой точки окружности, например точки А, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 2.28, а) до пересечения с окружностью в точках В и D. Соединим точки Ви Dпрямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1/7 длины окружности. Радиусом, равным отрезку ВС,делают засечки на окружности в последовательности, показанной на рис. 2.28, б. Соединив последовательно все точки, получают правильный вписанный семиугольник (рис. 2.28, в).

Деление окружности на четырнадцать равных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 2.29, а).

Рисунок 2.28

Сначала окружность делится на семь равных частей от точки 1, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырнадцатиугольник (рис. 2.29, б).

Рисунок 2.29

Построение эллипса

Изображение окружности в прямоугольной изометрической проекции во всех трех плоскостях проекций представляет собой одинаковые по форме эллипсы.

Направление малой оси эллипса совпадает с направлением аксонометрической оси, перпендикулярной той плоскости проекций, в которой лежит изображаемая окружность.

При построении эллипса, изображающего окружность небольшого диаметра, достаточно построить восемь точек, принадлежащих эллипсу (рис. 2.30). Четыре из них являются концами осей эллипса (A, B, С, D),а четыре других (N 1 , N 2, N 3, N 4) расположены на прямых, параллельных аксонометрическим осям, на расстоянии, равном радиусу изображаемой окружности от центра эллипса.